中国在不断发展进步，一切事物都在与时俱进。但是，在巨大的社会变革中，有些是不变的。例如，中华民族的文化传统，民族精神；热爱祖国，崇尚和平，寻求大同，宣扬美德等等，都是不变的。在改革开放的今天，在与时俱进的变化中，从实质上保持这些传统的精华，是一种文化的守恒。

   文学中也有守恒：对仗。 试看王维的名句：“明月松间照， 清泉石上流”， 具有自然意境之美，也有文字对仗工整之美。诗句中的对仗，正是把“明月”变换到“清泉”，其中不变的是语词的性质。形容词“明”对形容词“清”，名词“月”对“泉”。同时不变的还有：二者都是自然景物。这种保持着意境、语词的某种不变性，正是“守恒”。文学通过这样的“守恒”，体现着人类的睿智和均衡之美。

   在物理上，有能量守恒定律。在保守力场里，一个运动着的物体，它的动能和位能的总和是一个不变的常量。动能多了，位能就少了，反之也是这样。 守恒定律是力学真理，有了它，人们对运动着的客观事物有了更深的认识。

   总之，守恒是客观规律，发现守恒是科学的胜利，认识守恒是美的享受。

   那么，数学又是怎样和守恒连在一起的呢？

   从小学起，我们就在和守恒打交道。数字相加和相乘的交换律就是一种守恒定律。两个数交换了，次序变化了，但是它们的“和”与“积”不变：

   a + b = b + a，a·b = b·a。

   再如分数，1/2 =2/4=3/6=…，这些分数的形式各不相同，面貌变了，但是它们表示的大小数值没有变，都是0.5。这当然也是守恒。利用分数表示的守恒规则，可以通分，进行分数的加减乘除。

   在几何上，大家熟知图形的“全等”，它是指把一个图形通过“运动”（指移动、旋转、折叠）之后，可以和另一个图形“重合”。两个全等的图形经过运动之后，它们的长度、角度、面积等等都不变。这就是说，全等图形的长度、角度、面积是守恒的。至于相似，也是一种守恒。不过它只有角度不变，完全守恒，而长度和面积变了，不能有“相等性”的守恒了。但是，还可以用“长度之比”是一个常数（相似比）来说明它的守恒特征。

   对称是美丽的。所谓对称，指相对又相称。这在人类早期文明中就有体现。《易经》中的太极图，何等对称！

   对称，又是生活中常用的概念。服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹。数学上，轴对称是沿对称轴翻折以后图形的形状不变，旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的形状不变。

   这种“变化”之下的不变性质对称，本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数。比如二次式X2 +Y2，现在把X变换为Y，Y变换为X，原来的式子就成了Y2 + X2，结果仍旧等于X2 +Y2，没有变化。由于这个代数式经过变换之后，形式上完全和先前一样，所以把它称为对称的二次式。韦达定理中的两根和，两根之积可都是对称的代数式；高次方程也有韦达定理，仍然是高度对称的。

   最后，要说到方程。解方程的过程，就是将等式不断变形，使得方程的根保持不变。例如，一元一次方程，就是通过合并同类项，移项，两边同乘一个数，同除一个不为零的数等方法，把方程变形为 ax=b的形状。在这个过程中，x的值没有改变。这种变形是守恒的：保持等式不变，从而x的值不变，最后得到x=b/a（a≠0）。

   大家熟知的求解一元二次方程，也是通过配方、因式分解的方法将方程变形，保持等式不变，x的值不变，最后得到了求根公式。还须注意到，分式方程的变形，如果处理不当，就会失根，那就是不守恒了。

   当代物理学和守恒连在一起。对称是在某种群作用下的不变性。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。杨振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，是一种特殊的“不对称”。守恒是合理的，不守恒反而成了新发现。另外一个被称为“杨振宁-米尔斯规范场”的著名成果，更是研究“规范对称”的直接结果。杨振宁在《对称和物理学》一文的最后这样写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能。[1]”

   对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的。大自然的结构是用对称语言写成的。研究各种对称中的不变量，是数学物理研究的中心课题。

   从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chern class），正是刻画许多流形特征的不变量。一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端。

   数学思想的建立离不开人类文化的进步。在本原的思想上，例如守恒，许多学科之间都彼此相通。发现守恒，永远是美丽的。数学的不变量，正是数学文化和社会一般文化彼此互动的结果。

   (本文作者为华东师范大学数学系教授。)

   [1] 张奠宙编. 杨振宁文集. 上海：华东师范大学出版社. 1999. 444，703